quarta-feira, 3 de agosto de 2011

Rotação De Um Corpo Rígido


ROTAÇÃO


Trajetórias do movimento das estrelas

Desde moléculas até as galáxias, o movimento rotacional está ao nosso redor. A Terra gira em torno do seu eixo, rodas, engrenagens, hélices, motores, o eixo de transmissão de um carro, um CD no CD player, a cambalhota de um ginasta, tudo gira. Nosso estudo da rotação é simplificado fazendo analogia entre o movimento linear e o rotacional. Vamos considerar a rotação em torno de um eixo que está fixo no espaço ou aquele que está se movendo paralelo a si mesmo como o de uma bola de boliche.
Velocidade Angular e Aceleração Angular
Imagine um disco girando em torno de um eixo fixo perpendicular a ele e passando pelo centro dele.

Os pontos próximos da borda movem-se mais rápido do que aqueles próximos do eixo. Quando o disco gira de um determinado ângulo, todos os pontos também giram o mesmo ângulo. O ângulo que o disco gira é uma característica do disco como um todo, ou seja, a taxa na qual o ângulo muda. Quando o disco gira, a distância entre quaisquer duas partículas que fazem parte do disco permanece fixa. Dizemos então que o disco é um corpo rígido.
Considere uma partícula sobre o disco. Seja r1 a distância do centro do disco até a i – ésima partícula, e θi , o ângulo medido no sentido anti-horário de uma linha de referência fixa no espaço até uma linha que passa pela partícula. Quando o círculo gira um ângulo dθ, a partícula move-se sobre um arco circular de comprimento igual a:
dsi = ri | dθ | (1)
Onde é medido em radianos. A distância dsi varia de partícula para partícula. O ângulo é chamado de deslocamento angular e é o mesmo para todas as partículas do disco.
Para uma revolução completa, o comprimento do arco Δsi é 2πr e o deslocamento angular Δθ é:



A taxa de mudança do ângulo θ em relação ao tempo, dada por dθ / dt, é a mesma para todas as partículas do disco e é chamada de velocidade angular ω do disco.
(2)


Para rotação no sentido anti-horário, θ aumenta, logo ω é positiva. Para rotação no sentido horário, θ diminui e ω é negativa. A unidade de ω é radianos por segundo. Uma vez que radianos são grandezas adimensionais, as dimensões da velocidade angular são inversas do tempo (T-1). Normalmente usam-se revoluções por minuto (rpm) para descrever a rotação. Para converter revoluções, radianos e graus, usamos a relação:
1 rev = 2π rad = 3600


A velocidade de um cooler pode chegar a 2600 rpm



Você sabia que o CD dentro deste cd player gira a diferentes velocidades dependendo da música que ele está tocando? Quais seriam a características a serem incorporadas na fabricação de cada CD de música?
Quando um objeto extenso tal como uma roda gira em torno do seu eixo, o movimento não pode ser analisado como se o objeto fosse uma partícula, porque para qualquer intervalo de tempo, as diferentes partes do objeto teriam velocidades e acelerações lineares diferentes. Por esta razão, é conveniente considerar um objeto extenso como aquele que possui um grande número de partículas, cada uma tendo a sua própria velocidade e aceleração linear.
A análise do movimento de um objeto em rotação é bastante simplificada se considerarmos que o objeto é um corpo rígido. Um corpo rígido é um corpo que é indeformável, isto é, um corpo no qual a separação de todos os pares de partículas permanece constante. Todos os corpos reais são deformáveis de alguma forma, todavia, nosso modelo de corpo rígido torna-se útil em muitas situações nas quais a deformação de um corpo é desprezível.
Iremos analisar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, que também é chamada de movimento rotacional puro.
DESLOCAMENTO ANGULAR, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
A figura abaixo ilustra um corpo rígido plano de forma arbitrária contido no plano xy e girando em torno de um eixo fixo que passa pelo ponto O. O eixo é perpendicular ao plano da figura, e O é a origem de um sistema de coordenadas xy.

Vamos olhar para o movimento de uma única das milhões de partículas que compõe este corpo. Uma partícula em P está uma distância fixa r da origem e gira em relação a ela em um círculo de raio r. (Na verdade cada partícula do objeto sofre um movimento circular em torno de O.) É conveniente representar a posição de P através de suas coordenadas polares (r, θ), onde r é a distância da origem até o ponto P e θ é medido no sentido anti-horário em relação a alguma posição escolhida; nesse caso, a parte positiva do eixo x. Nessa representação, a única coordenada que muda com o passar do tempo é o ângulo θ; r permanece constante. (Nas coordenadas cartesianas, tanto x e y variam com o tempo.) Quando a partícula move-se ao longo do círculo do eixo positivo x (θ = 0) até P,ela move-se por um arco cujo comprimento é s,que relaciona-se com a posição angular θ através da expressão:
S = r θ (1)
Θ = s/r (1.a)
É importante notar as unidades de θ na equação (1.a), uma vez que θ é a razão entre um comprimento de arco e o raio de um círculo,ou seja umnúmero puro. No entanto, comumente atribuímos a θ a unidade radiano, onde:
Um radiano é o ângulo subtendido por um comprimento
de arco igual ao raio do mesmo arco.
Uma vez que a circunferência de um círculo vale 2πr, segue-se da equação 1.a que 3600 correspondem a um ângulo de 2πr/r rad = 2π rad (uma revolução). Portanto 1 rad = 3600 / 2π ~ 57.30. Para converter um ângulo em graus para um ângulo em radianos, usamos o fato de que 2π rad = 3600:


Por exemplo, 600 equivalem a π/3 rad, e 450, a π/4 rad.

Quando a partícula sobre o corpo rígido viaja da posição P até a posição Q em um tempo Δt como mostrado na figura abaixo, o vetor r varre um ângulo Δθ = θf – θi. Esta quantidade Δθ é definida como o deslocamento angular da partícula:
Δθ = θf – θi

















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