quinta-feira, 20 de novembro de 2014

Aceleração Angular

Se a velocidade angular de um corpo em rotação não é constante, então o corpo possui uma aceleração angular. Vamos considerar ω2 e ω1 suas velocidades angulares nos instantes de tempo t2 e t1, respectivamente. A aceleração angular média de um corpo em rotação no intervalo de tempo que vai de t1 até t2 é  dada pela expressão:

    (1)

Onde Δω é a variação da velocidade angular que ocorre durante o intervalo de tempo Δt. A aceleração angular instantânea, α é o limite quando Δt tende a zero na expressão (1). Assim:

    (2)

As equações (1) e (2) também são válidas para cada partícula de um corpo rígido. A unidade para aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado, rad/s2, ou revolução por segundo ao quadrado, rev/s2.
  







As

quarta-feira, 19 de novembro de 2014

Velocidade Angular

Vamos supor que nosso corpo girante esteja em uma posição angular θ1 em um tempo t1 e em uma nova posição angular θ2 em um tempo posterior t2, conforme a ilustração abaixo. Definiremos a velocidade média angular de um corpo no intervalo de tempo Δt de t1 até t2 pela expressão:

   (1)



Δθ – É o deslocamento angular.

A velocidade angular instantânea ω a qual é mais importante é limite da equação 1, quando Δt tende a zero. Assim:

    (2)



Assim, conhecendo-se θ(t), isto é, o deslocamento angular em função do tempo, é possível encontrar a velocidade angular instantânea, ω, por diferenciação.

As equações (1) e (2) além de serem aplicáveis ao corpo rígido como um todo, servem também para cada partícula desse corpo, porque as partículas estão todas unidas. A unidade de velocidade angular mais comum é o radiano por segundo (rad/s) ou revolução por segundo (rev/s), mas também é conhecida a rotação por minuto (rpm).

Se uma partícula move-se em translação ao longo do eixo x, sua velocidade linear v pode ser tanto positiva como negativa, dependendo do sentido que ela está tomando ao longo do eixo. De maneira semelhante a velocidade angular ω de um corpo rígido em rotação pode ser também tanto positiva como negativa. Se o corpo estiver girando no sentido anti-horário, ela será positiva. Se estiver girando no sentido horário, será negativa.




 






terça-feira, 13 de setembro de 2011

Deslocamento Angular

Quando a partícula sobre o corpo rígido viaja da posição P até a posição Q em um tempo Δt como mostrado na figura abaixo, o vetor r varre um ângulo Δθ = θf – θi. Esta quantidade Δθ é definida como o deslocamento angular da partícula:

Δθ = θf – θi




Definimos a velocidade angular média ωmed como a razão entre o deslocamento angular e o intervalo de tempo Δt.


Analogamente à velocidade linear, a velocidade angular instantânea ω é definida como o limite da razão Δθ/Δt quando Δt se aproxima de zero.




Em uma corrida de 200 ou 400 metros rasos, os cirredores começam de diferentes

posições. Por que eles não saem da mesma posição?


A unidade de velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s). Consideramos ω positiva quando o deslocamento angular θ estiver aumentando (sentido anti-horário) e negativo quando θ estiver diminuindo (sentido horário).


Se a velocidade angular instantânea de um objeto passar de ωi para ωf em um intervalo de tempo Δt, então o objeto possui uma aceleração angular. A aceleração angular média, αmed de um corpo em rotação é definida como a razão entre a variação da velocidade angular instantânea e o intervalo de tempo Δt.




Regra da mão direita: o polegar aponta o sentido da velocidade

angular.



Analogamente à aceleração linear, a aceleração angular instantânea é definida como o limite da razão Δω/Δt, quando Δt se aproxima de zero:


A unidade da aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2). α é positiva quando a razão Δω/Δt estiver aumentando no sentido anti-horário e negativa quando a razão estiver diminuindo no sentido horário.

Ao girar em torno de um eixo fixo, todas as partículas de um corpo rígido girarão do mesmo ângulo, possuirão a mesma velocidade angular e a mesma acleração angular. Ou seja, as quantidades θ,ω e α caracterizam o movimento rotacional de todo o corpo rígido. Usando estas grandezas, podemos simplificar bastante a análise de um corpo rígido em roração.

A posição angular (θ), a velocidade angular (ω) e a aceleração angular (α) são análogas a posição linear (x), à velocidade (v) e à aceleração linear (a). As variáveis θ,ω e α diferem dimensionalmente das outras somente pelo fator unidade de comprimento.

Ainda não foi especificada nenhuma direção para ω e α. Rigorosamente falando, estas variáveis são as magnitudes da velocidade angular e da aceleração angular vetoriais ω e α, respectivamente, Uma vez que estamos considerando a rotação em torno de um eixo fixo, podemos indicar as direções vetoriais através de um sinal positivo ou negativo para ω e α. Para rotação em torno de um eixo fixo, a única direção que especifica o movimento rotacional é aquela coincidente com o próprio eixo de rotação, por isso as direções de ω e α estarão ao longo desse eixo.

















quarta-feira, 3 de agosto de 2011

Rotação De Um Corpo Rígido


ROTAÇÃO


Trajetórias do movimento das estrelas

Desde moléculas até as galáxias, o movimento rotacional está ao nosso redor. A Terra gira em torno do seu eixo, rodas, engrenagens, hélices, motores, o eixo de transmissão de um carro, um CD no CD player, a cambalhota de um ginasta, tudo gira. Nosso estudo da rotação é simplificado fazendo analogia entre o movimento linear e o rotacional. Vamos considerar a rotação em torno de um eixo que está fixo no espaço ou aquele que está se movendo paralelo a si mesmo como o de uma bola de boliche.
Velocidade Angular e Aceleração Angular
Imagine um disco girando em torno de um eixo fixo perpendicular a ele e passando pelo centro dele.

Os pontos próximos da borda movem-se mais rápido do que aqueles próximos do eixo. Quando o disco gira de um determinado ângulo, todos os pontos também giram o mesmo ângulo. O ângulo que o disco gira é uma característica do disco como um todo, ou seja, a taxa na qual o ângulo muda. Quando o disco gira, a distância entre quaisquer duas partículas que fazem parte do disco permanece fixa. Dizemos então que o disco é um corpo rígido.
Considere uma partícula sobre o disco. Seja r1 a distância do centro do disco até a i – ésima partícula, e θi , o ângulo medido no sentido anti-horário de uma linha de referência fixa no espaço até uma linha que passa pela partícula. Quando o círculo gira um ângulo dθ, a partícula move-se sobre um arco circular de comprimento igual a:
dsi = ri | dθ | (1)
Onde é medido em radianos. A distância dsi varia de partícula para partícula. O ângulo é chamado de deslocamento angular e é o mesmo para todas as partículas do disco.
Para uma revolução completa, o comprimento do arco Δsi é 2πr e o deslocamento angular Δθ é:



A taxa de mudança do ângulo θ em relação ao tempo, dada por dθ / dt, é a mesma para todas as partículas do disco e é chamada de velocidade angular ω do disco.
(2)


Para rotação no sentido anti-horário, θ aumenta, logo ω é positiva. Para rotação no sentido horário, θ diminui e ω é negativa. A unidade de ω é radianos por segundo. Uma vez que radianos são grandezas adimensionais, as dimensões da velocidade angular são inversas do tempo (T-1). Normalmente usam-se revoluções por minuto (rpm) para descrever a rotação. Para converter revoluções, radianos e graus, usamos a relação:
1 rev = 2π rad = 3600


A velocidade de um cooler pode chegar a 2600 rpm



Você sabia que o CD dentro deste cd player gira a diferentes velocidades dependendo da música que ele está tocando? Quais seriam a características a serem incorporadas na fabricação de cada CD de música?
Quando um objeto extenso tal como uma roda gira em torno do seu eixo, o movimento não pode ser analisado como se o objeto fosse uma partícula, porque para qualquer intervalo de tempo, as diferentes partes do objeto teriam velocidades e acelerações lineares diferentes. Por esta razão, é conveniente considerar um objeto extenso como aquele que possui um grande número de partículas, cada uma tendo a sua própria velocidade e aceleração linear.
A análise do movimento de um objeto em rotação é bastante simplificada se considerarmos que o objeto é um corpo rígido. Um corpo rígido é um corpo que é inde